Question

9．等比數(shù)列{a_n}中，若a₂a₅=2a₃，a₄與a₆的等差中項(xiàng)為$\frac{5}{4}$，則a₁=±16．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．由a₂a₅=2a₃，可得${a}_{1}^{2}{q}^{5}$=2a₁q²，化為：${a}_{1}{q}^{3}$=2=a₄．由a₄與a₆的等差中項(xiàng)為$\frac{5}{4}$，可得a₄+a₆=2×$\frac{5}{4}$，即${a}_{4}（1+{q}^{2}）$=$\frac{5}{2}$．代入解出即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．
∵a₂a₅=2a₃，
∴${a}_{1}^{2}{q}^{5}$=2a₁q²，化為：${a}_{1}{q}^{3}$=2=a₄．
∵a₄與a₆的等差中項(xiàng)為$\frac{5}{4}$，∴a₄+a₆=2×$\frac{5}{4}$，
∴${a}_{4}（1+{q}^{2}）$=$\frac{5}{2}$．
∴q²=$\frac{1}{4}$，解得q=$±\frac{1}{2}$．
則a₁×$（±\frac{1}{8}）$=2，解得a₁=±16．
故答案為：±16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．