Question

圓C的半徑為3，圓心C在直線2x+y=0上且在x軸下方，x軸被圓C截得的弦長為2

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．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線l，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圓心C在直線2x+y=0上且在x軸下方，x軸被圓C截得的弦長為2

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可得圓心到x軸的距離為1，則可知C（1，-2），從而可得圓C的方程
（2）設(shè)L的方程y=x+b，以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，聯(lián)立直線方程與圓的方程，由△=（2+2b）²-4×2（b²+4b-4）＞0 可得-3

2

-3＜b＜3

2

-3，由方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入x₁x₂+y₁y₂=0，可求b，從而可求直線方程

解答：解：（1）如圖由圓心C在直線2x+y=0上且在x軸下方，x軸被圓C截得的弦長為2

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可得圓心到x軸的距離為2
∴C（1，-2）
∴圓C的方程是（X-1）²+（Y+2）²=9--（4分）
（2）設(shè)L的方程y=x+b，以AB為直徑的圓過原點，則
OA⊥OB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁x₂+y₁y₂=0      ①---------------（6分）
由

(x-1)2+(y+2)2=9 y=x+b

得2x²+（2b+2）x+（b²+4b-4）=0----------（8分）
要使方程有兩個相異實根，則
△=（2+2b）²-4×2（b²+4b-4）＞0  即-3

2

-3＜b＜3

2

-3---------（9分）
x1+x2=-1-b，x1x2=

b2+4b-4

2

---------------------------（10分）
由y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，代入x₁x₂+y₁y₂=0，得2x₁x₂+（x₁+x₂）b+b²=0-------（12分）
即有b²+3b-4=0，b=-4，b=1---------------------------------（13分）
故存在直線L滿足條件，且方程為y=x-4或y=x+1----------------------（14分）

點評：本題主要考查了直線與圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基本知識的綜合應(yīng)用．