Question

（2013•福建）選修4-2：矩陣與變換
已知直線(xiàn)l：ax+y=1在矩陣A=

1 2 0 1

對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本�(xiàn)l′：x+by=1
（I）求實(shí)數(shù)a，b的值
（II）若點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線(xiàn)l上，且A

x0 y   0

=

x0 y   0

，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）任取直線(xiàn)l：ax+y=1上一點(diǎn)M（x，y），經(jīng)矩陣A變換后點(diǎn)為M′（x′，y′），利用矩陣乘法得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出直線(xiàn)l′的方程，從而建立關(guān)于a，b的方程，即可求得實(shí)數(shù)a，b的值；
（II）由A

x0 y   0

=

x0 y   0

得

x0=x0+2y0 y0=y0

，從而解得y₀的值，又點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線(xiàn)l上，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（I）任取直線(xiàn)l：ax+y=1上一點(diǎn)M（x，y），
經(jīng)矩陣A變換后點(diǎn)為M′（x′，y′），則有

1 2 0 1

x y

=

x′ y′

，
可得

x′=x+2y y′=y

，又點(diǎn)M′（x′，y′）在直線(xiàn)l′上，∴x+（b+2）y=1，
可得

a=1 b+2=1

，解得

a=1 b=-1

（II）由A

x0 y0

=

x0 y0

得

x0=x0+2y0 y0=y0

，從而y₀=0，
又點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線(xiàn)l上，∴x₀=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題以矩陣為依托，考查矩陣的乘法，考查矩陣變換，關(guān)鍵是正確利用矩陣的乘法公式．