Question

下述數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，記為S．其特點(diǎn)是每行每列都是等差數(shù)列，第i行第j列的數(shù)記為A_ij．
（1）設(shè)S中主對角線上的數(shù)1，8，17，28，41，…組成數(shù)列{b_n}．試證不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列；
（2）對于（1）中的數(shù)列{b_n}，是否存在正整數(shù)p和r （1＜r＜p＜150），使得b₁，b_r，b_p成等差數(shù)列．若存在，寫出p，r的一組解（不必寫出推理過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)存在k、m，1＜k＜m，使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列，則根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知b₁b_m=b_k²，根據(jù)題意b_n=A_nn=（n+2）²-4；求得（m+2）²-[（k+2）²-8]²=8，同時(shí)1＜k＜m，則可推斷k≥2、m≥3，進(jìn)而可知（m+2）+（k+2）²-8≥13進(jìn)而可得出(m+2)-(k+2)2≤ +8=

8

13

＜1與（m+2）-（k+2）²+8∈Z矛盾，推斷出不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列．
（2）假設(shè)存在滿足條件的p，r，則根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2（r²+4r-4）=1+（p²+4p-4），令

r+5=p-1  2(r-1)=p+5

求得p和r．

解答：解：（1）證明：假設(shè)存在k、m，1＜k＜m，使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列，
即b₁b_m=b_k²，
∵b_n=A_nn=（n+2）²-8；
∴1×[（m+2）²-8]=[（k+2）²-8]²
得（m+2）²-[（k+2）²-8]²=8，
即[（m+2）+（k+2）²-8][（m+2）-（k+2）²+8]=8，
又∵1＜k＜m，且k、m∈N，
∴k≥2、m≥3，（m+2）+（k+2）²-8≥5+16-8=13
∴0＜(m+2)-(k+2)2+8=

8

(m+2)+(k+2)2-8

≤

8

13

＜1，這與（m+2）-（k+2）²+8∈Z矛盾，
所以不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列．
（2）解：假設(shè)存在滿足條件的p，r，那么2（r²+4r-4）=1+（p²+4p-4），
即2（r+5）（r-1）=（p+5）（p-1）
不妨令

r+5=p-1   2(r-1)=p+5

得

r=13 p=19

所以存在r=13，p=19使得b₁，b_r，b_p成等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，不等式的證明，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．