Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是矩形且AD＝2，AB＝PA＝，PA⊥底面ABCD，E是AD的中點，F在PC上．

(1)求F在何處時，EF⊥平面PBC；

(2)在(1)的條件下，EF是否是PC與AD的公垂線段？若是，求出公垂線段的長度；若不是，說明理由；

(3)在(1)的條件下，求直線BD與平面BEF所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)以A為坐標(biāo)原點，以射線AD，AB，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，， 　　∵F在PC上，∴可令，設(shè)，，， 　　∵EF⊥平面PBC，∴且，又， 　　可得，，．故F為PC的中點． 　　(2)由(1)可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD， 　　∴EF是PC與AD的公垂線段，其長為． 　　(3)由(1)可知，即為平面BEF的一個法向量，而． 　　設(shè)BD與平面BEF所成角為，則，． 　　∴，故BD與平BEF所成角為．