已知A,B分別是直線y=x和y=-x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的長(zhǎng)為2
3
,D是AB的中點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程;
(2)若過點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q,
①當(dāng)|PQ|=3時(shí),求直線l的方程;
②設(shè)點(diǎn)E(m,0)是x軸上一點(diǎn),求當(dāng)
PE
QE
恒為定值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值.
分析:(1)設(shè)D(x,y),A(a,a),B(b,-b),通過D是AB的中點(diǎn),|AB|的距離,列出方程即可求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程;
(2)若過點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q,
①當(dāng)|PQ|=3時(shí),通過直線的斜率存在與不存在分別求解,利用圓心到直線的距離求出直線的斜率,然后求直線l的方程;
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=k(x-1),推出(k2+1)x2-2k2x+k2-3=0,
由韋達(dá)定理以及
PE
QE
,確定
PE
QE
為定值-2,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),求出P(1,
2
),Q(1,-
2
),
得到
PE
QE
=-2,即可求出
PE
QE
恒為定值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值.
解答:解:(1)設(shè)D(x,y),A(a,a),B(b,-b),
∵D是AB的中點(diǎn),∴x=
a+b
2
,y=
a-b
2
,
∵|AB|=2
3
,∴(a-b)2+(a+b)2=12,
∴(2y)2+(2x)2=12,∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x2+y2=3.
(2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),P(1,
2
),Q(1,-
2
),
此時(shí)|PQ|=2
2
,不符合題意;
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
由于|PQ|=3,所以圓心C到直線l的距離為
3
2

|-k|
k2+1
=
3
2
,解得k=±
3
.故直線l的方程為y=±
3
(x-1).
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=k(x-1),
由消去y得(k2+1)x2-2k2x+k2-3=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)則由韋達(dá)定理得x1+x2=
2k2
k2+1
,x1x2=
k2-3
k2+1

PE
=(m-x1,-y1),
QE
=(m-x2,-y2),
PE
QE
=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2-
2mk2
k2+1
+
k2-3
k2+1
+k2
k2-3
k2+1
-
2k2
k2+1
+1)=
(m2-2m-1)k2+m2-3
k2+1

要使上式為定值須
m2-2m-1
m2-3
=1,解得m=1,
PE
QE
為定值-2,
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P(1,
2
),Q(1,-
2
),
由E(1,0)可得
PE
=(0,-
2
),
QE
=(0,
2
),
PE
QE
=-2,
綜上所述當(dāng)E(1,0)時(shí),
PE
QE
為定值-2.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓心位置關(guān)系,數(shù)量積與韋達(dá)定理的應(yīng)用,軌跡方程的求法,考查計(jì)算能力,分類討論思想.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B分別是直線y=
3
3
x
y=-
3
3
x
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的長(zhǎng)為2
3
,D是AB的中點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)N(1,0)作與x軸不垂直的直線l,交曲線C于P、Q兩點(diǎn),若在線段ON上存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B分別是直線y=
3
3
x
y=-
3
3
x
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的長(zhǎng)為2
3
,P是AB的中點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)Q(1,0)作直線l(與x軸不垂直)與軌跡C交于M、N兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)R.若
RM
MQ
,
RN
NQ
,證明:λ+μ為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A,B分別是直線y=x和y=-x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的長(zhǎng)為2
3
,D是AB的中點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程;
(2)若過點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q,
①當(dāng)|PQ|=3時(shí),求直線l的方程;
②試問在x軸上是否存在點(diǎn)E(m,0),使
PE
QE
恒為定值?若存在,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B分別是直線y=
3
3
x
y=-
3
3
x
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的長(zhǎng)為2
3
,P是AB的中點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)Q(1,0)任意作直線l(與x軸不垂直),設(shè)l與(1)中軌跡C交于M、N,與y軸交于R點(diǎn).若
RM
MQ
,
RN
NQ
,證明:λ+μ 為定值.

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