Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式{a_n}；
（Ⅱ）令，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小的正整數(shù)n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)已知的兩條件，得到一個(gè)方程組，化簡(jiǎn)后即可求出a1和q的值，寫(xiě)出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式代入，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，確定出b_n的通項(xiàng)公式，列舉出數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的和的相反數(shù)設(shè)為T(mén)_n，記作①，兩邊乘以2得到另一個(gè)關(guān)系式，記作②，①-②即可求出-T_n，即為S_n，把求出的S_n代入已知的不等式中化簡(jiǎn)，即可求出滿足題意的最小的正整數(shù)n的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)a_n的公比為q，由已知，
得⇒⇒⇒，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；（5分）
（Ⅱ），
設(shè)T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
則2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹=-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=-T_n=-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2（10分）
故S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50?-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2+n×2ⁿ⁺¹＞50，
⇒2ⁿ＞26，
∴滿足不等式的最小的正整數(shù)n為5．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求數(shù)列前n項(xiàng)的和，以及靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)解決問(wèn)題．學(xué)生做第二問(wèn)時(shí)注意不是直接求S_n，而是利用錯(cuò)位相減的方法先求出S_n的相反數(shù)T_n．