Question

已知冪函數(shù)Y=f（x）的圖象過點(diǎn)（3，

1

3

），
（1）試求出此函數(shù)的解析式；
（2）寫出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明此函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出冪函數(shù)的解析式，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出冪函數(shù)的解析式；
（2）由于冪指數(shù)小于0，求出單調(diào)區(qū)間．
（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性可以通過定義做，先取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，根據(jù)定義進(jìn)行判定即可．

解答：解：（1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^a，
則3^a=

1

3

，解得a=-1
∴f（x）=x^-1；
（2）∴f（x）=x^-1的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞），（-∞，0）．
（3）取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，那么 f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=-

x1-x2

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了通過待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式、考查冪函數(shù)的性質(zhì)取決于冪指數(shù)的范圍，考查函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)推理判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．