Question

【題目】已知數(shù)列、、滿足，．

（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（2）若恰好是一個等差數(shù)列的前項和，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）設等比數(shù)列的公比為，分和兩種情況討論，結合等比數(shù)列的定義判斷即可；

（2）設是公差為的等差數(shù)列的前項和，推導出，由推導出，進而可證得結論成立；

（3）利用數(shù)列是等差數(shù)列結合推導出，再結合數(shù)列是等比數(shù)列，推導出，由數(shù)列是等差數(shù)列得出，推導出，并將代入化簡得，從而可證明出數(shù)列是等差數(shù)列.

（1）設等比數(shù)列的公比為，則，

當時，，數(shù)列不是等比數(shù)列；

當時，因為，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）因為恰好是一個等差數(shù)列的前項和，設這個等差數(shù)列為，公差為，

因為，所以，

兩式相減得，

因為，

所以，

所以數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，

又因為，所以，

即 ，則，

又因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，則，

即，

因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，

則，即，

又因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，

即，化簡得，

將代入得，化簡得，

所以數(shù)列是等差數(shù)列．