3.如圖,在周長為60πcm的圓形(O為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD,其中點A、B、C、D在圓周上.
(Ⅰ)怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大?并求最大面積;
(Ⅱ)若將所截得的矩形鋁皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗),應(yīng)怎樣截取,才能使做出的圓柱形罐子體積最大?并求最大體積.

分析 (Ⅰ)由圓的周長可得半徑r=30,連接AC,設(shè)∠BAC=α(0<α<$\frac{π}{2}$),即有AB=60cosα,AD=60sinα,運用矩形的面積公式和二倍角的正弦,以及正弦函數(shù)的值域即可得到所求最大值;
(Ⅱ)運用圓柱的體積公式可得圓柱形罐子體積為V=π•$\frac{900co{s}^{2}α}{{π}^{2}}$•AD=$\frac{54000}{π}$•sinαcos2α(0<α<$\frac{π}{2}$),由sin2αcos4α=$\frac{1}{2}$•2sin2α•cos2α•cos2α,運用三元基本不等式即可得到所求的最大值.

解答 解:(Ⅰ)周長為60πcm,即有2πr=60π,
解得r=30,即有AC=60,
連接AC,設(shè)∠BAC=α(0<α<$\frac{π}{2}$),
即有AB=60cosα,AD=60sinα,
則矩形ABCD的面積為S=AB•AD=3600sinαcosα=1800sin2α,
當(dāng)sin2α=1,即α=$\frac{π}{4}$時,矩形的面積取得最大值,且為1800cm2
故與直徑成$\frac{π}{4}$的角,截取可得矩形的面積最大,且為1800cm2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得AB=60cosα,AD=60sinα,
設(shè)60cosα=2πr,可得r=$\frac{30cosα}{π}$,
即有圓柱形罐子體積為V=π•$\frac{900co{s}^{2}α}{{π}^{2}}$•AD=$\frac{54000}{π}$•sinαcos2α(0<α<$\frac{π}{2}$),
由sin2αcos4α=$\frac{1}{2}$•2sin2α•cos2α•cos2α≤$\frac{1}{2}$•($\frac{2si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+co{s}^{2}α}{3}$)3
=$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{27}$=$\frac{4}{27}$,當(dāng)且僅當(dāng)2sin2α=cos2α,即為tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,取得最大值.
故與直徑成α角,且tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,截取得到的矩形,卷成圓柱,
體積取得最大值,且為$\frac{12000\sqrt{3}}{π}$cm3

點評 本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用題的解法,考查三角函數(shù)的恒等變換的運用,以及正弦函數(shù)的值域和基本不等式的運用,考查運算能力,屬于中檔題.

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