Question

（本小題滿(mǎn)分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，其切點(diǎn)分別為（其中）。
⑴ 求的值；
⑵ 若以點(diǎn)為圓心的圓與直線(xiàn)相切，求圓的面積。

Answer 1

⑴，；⑵圓的面積為 。

試題分析：（Ⅰ）由y=x²先求出y′=2x．再由直線(xiàn)PM與曲線(xiàn)T₀相切，且過(guò)點(diǎn)P（1，-1），得到x₁=1-，或x₁=1+；同理可得x₂=1-，或x₂=1+，然后由x₁＜x₂知x₁=1-，x₂=1+．
（Ⅱ）由題意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，則直線(xiàn)MN的方程為：2x-y+1=0．再由點(diǎn)P到直線(xiàn)MN的距離即為圓E的半徑，可求出圓E的面積．
解：⑴由可得，    ……1分
∵直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，且過(guò)點(diǎn)，∴，即，
即，   ……3分    ∴，  ……5分
同理可得    ……6分
∵   ∴，    ……7分
⑵由⑴知，   
      ……9分
直線(xiàn)方程為：， 即   ……11分
     ……13分  故圓的面積為      ……14分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切點(diǎn)的坐標(biāo)，并能利用韋達(dá)定理，得到直線(xiàn)方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到圓的半徑求解其面積。