Question

（2012•江門一模）某產(chǎn)品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q（q∈N^*））的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，銷售單價P與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p=25-

1

8

q．
（1）產(chǎn)量q為何值時，利潤最大？
（2）產(chǎn)量q為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大？

Answer 1

分析：（1）表示出銷售收入R、利潤L，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；
（2）每件產(chǎn)品的平均利潤f（q）=

L

q

，利用導數(shù)即可求得最大值及產(chǎn)量q值，注意q為正整數(shù)．

解答：解：（1）銷售收入R=q×p=25q-

1

8

q2，
利潤L=R-C=-

1

8

q2+21q-100（0＜q＜200），
L=-

1

8

(q-84)2+782，
所以產(chǎn)量q=84時，利潤L最大；
（2）每件產(chǎn)品的平均利潤f（q）=

L

q

=21-(

1

8

q+

100

q

)，
f′（q）=-

1

8

+

100

q2

，
解f′（q）=0得q=20

2

，
0＜q＜20

2

時，f′（q）＞0，f（q）單調(diào)遞增；
20

2

＜q＜200時，f′（q）＜0，f（q）單調(diào)遞減，
因為28＜20

2

＜29，且f（28）＞f（29），
所以產(chǎn)量q=28時，每件產(chǎn)品的平均利潤L最大．
答：產(chǎn)量q=28時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大．

點評：本題考查應(yīng)用導數(shù)求實際背景下函數(shù)的最值問題、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學生應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力．