Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，E為CC₁中點(diǎn)，側(cè)面BCC₁B₁為正方形．
（1）證明：A₁C∥平面AB₁D；
 （2）證明：BE⊥AB₁；
 （3）設(shè)∠BAC=θ，若，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證A₁C∥平面AB₁D，只需證明A₁C∥OD即可；（2）要證BE⊥AB₁，只要證BE⊥面AB₁D，只要證BE垂直于平面中的兩條相交直線；（3）因?yàn)锳A₁⊥面ABC，所以
從而，利用導(dǎo)數(shù)法可求．
解答：證明：（1）連A₁B交AB₁于O，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以A₁C∥OD
又∵A₁C?面AB₁D，OD⊆面AB₁D∴A₁C∥平面AB₁D
（2）因?yàn)锽CC₁B₁為正方形，D為BC中點(diǎn)，E為CC₁中點(diǎn)，
所以△B₁BD≌△BCE，所以∠EBC=∠BB₁D
又因?yàn)椤螧B₁D+∠BDB₁=90，所以∠EBC+∠BDB₁=90
所以BE⊥B₁D
因?yàn)锳B=AC，D為BC中點(diǎn)，所以AD⊥BC
又因?yàn)槊鍭BC⊥面BCC₁B₁，面ABC∩面BCC₁B₁=BC，AD⊆面ABC
所以AD⊥BCC₁B₁，所以AD⊥BE
又因?yàn)锳D∩B₁D=D，所以BE⊥面AB₁D，所以BE⊥AB₁
（3）因?yàn)锳A₁⊥面ABC，所以
在△ABC中，
所以令t=cosθ，f（t）=t³-t²-t+1，t∈（-1，1）
則f'（t）=3t²-2t-1，令f'（t）=0，得或t=1（舍去）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184239611191257/SYS201310241842396111912019_DA/6.png">時(shí)，f'（t）＞0，時(shí)，f'（t）＜0
所以f（t）在遞增，在遞減，故，此時(shí)
所以當(dāng)時(shí)，取最大值
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線面位置關(guān)系，線面相互轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，應(yīng)熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定．