【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點，使線段的中點的橫坐標與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

【答案】（1） 取得極大值，無極小值;（2） ;（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）當時，求函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的零點，并判斷零點兩側的單調性，求得極值；（2）根據(jù)條件將問題轉化為，當時恒成立，采用參變分離的方法，得到；（3）設點A,B的坐標，表示兩點連線的斜率，以及中點處的導數(shù)，得到，可將此式變形為關于的函數(shù)，轉化為判定函數(shù)是否有零點的問題.

試題解析：解：（1）的定義域為,，

故單調遞增；單調遞減，

時，取得極大值，無極小值.

（2），，

若函數(shù)在上單調遞減，則對恒成立

∴，只需

∵時，，則，，

故，的取值范圍為.

（3）假設存在，不妨設，

由得，整理得

令，，

在上單調遞增，

，故, 不存在符合題意的兩點.

練習冊系列答案
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【題目】設函數(shù)把的圖象向右平移個單位后，圖象恰好為函數(shù)的圖象，則的值可以是( )

A. B. C. D.

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【題目】已知橢圓的中心是坐標原點，焦點在軸上，離心率為，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為．過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）在線段上是否存在點，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請

說明理由．

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【題目】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為： ，已知甲、乙兩地相距100千米．

（1）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

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【題目】設函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，是否存在整數(shù)，使不等式恒成立？若存在，求整數(shù)的值；若不存在，則說明理由；

（3）關于的方程在上恰有兩個相異實根，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校90名專職教師的年齡狀況如下表:

年齡

35歲以下

35～50歲

50歲以上

人數(shù)

45

30

15

現(xiàn)擬采用分層抽樣的方法從這90名專職教師中抽取6名老、中、青教師下鄉(xiāng)支教一年.

（Ⅰ）求從表中三個年齡段中分別抽取的人數(shù)；

（Ⅱ）若從抽取的6個教師中再隨機抽取2名到相對更加邊遠的鄉(xiāng)村支教,計算這兩名教師至少有一個年齡是35～50歲教師的概率。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，，）．

（1）若的部分圖像如圖所示，求的解析式；

（2）在（1）的條件下，求最小正實數(shù)，使得函數(shù)的圖象向左平移個單位后所對應的函數(shù)是偶函數(shù)；

（3）若在上是單調遞增函數(shù)，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程，并說明其表示什么軌跡；

（2）若直線的極坐標方程為，求直線被曲線截得的弦長.

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【題目】對于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).

（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對任意，都有，且；又數(shù)列滿足.

（1）求證： 是數(shù)列的母函數(shù)；

（2）求數(shù)列的前項和.

（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項和為，求證： .

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