Question

（2010•江西模擬）設(shè)橢圓

x2

4

+

y2

3

=1長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)為A₁，A₂，點(diǎn)P在直線l：x=4上，直線A₁P，A₂P分別與該橢圓交于M，N，若直線MN恰好過(guò)右焦點(diǎn)F，則稱P為“G點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中，正確的是（　　）

A．直線l上的所有點(diǎn)都是“G點(diǎn)”

B．直線l上僅有有限個(gè)“G點(diǎn)”

C．直線l上的所有點(diǎn)都不是“G點(diǎn)”

D．直線l上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“G點(diǎn)”

Answer 1

分析：設(shè)P（4，b）．求出直線A₁P，A₂P的方程．與橢圓方程聯(lián)立，解出M，N的坐標(biāo)   若MF1，MF2的斜率相等，則直線上的所有點(diǎn)都是G點(diǎn)．

解答：解：A₁（-2，0），A₂ （2，0）設(shè)P（4，b），
由直線的點(diǎn)斜式方程得到直線A₁P：y=

b

6

（x+2）與橢圓方程聯(lián)立，
消去y得：(3+

b2

9

)x2+

4b2

9

x+

4b2

9

-12=0，
由韋達(dá)定理，x₁+x₂=-

4b2

27+b2

 又-2是此方程的一個(gè)解，
得M的橫坐標(biāo)是

54-2b2

27+b2

，
代入直線A₁P從而縱坐標(biāo)

18b

27+b2

．同理N（

2b2-6

3+b2

，

-6b

3+b2

）．
根據(jù)兩點(diǎn)直線斜率公式，k_MF1=K_MF2．
∴M，F(xiàn)1，F(xiàn)2，三點(diǎn)始終共線直線MN始終過(guò)右焦點(diǎn)F．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題首先明確G點(diǎn)的新定義．在題目中使得直線MN恰好過(guò)右焦點(diǎn)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三點(diǎn)是否共線的問(wèn)題．