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【題目】設函數f(x)=lnx﹣ax2+ax,a為正實數.
(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)求證:f( )≤0;
(3)若函數f(x)有且只有1個零點,求a的值.

【答案】
(1)解:當a=2時,f(x)=lnx﹣2x2+2x,f′(x)= ﹣2x+2,

∴f′(1)=1,

∵f(1)=0,

∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是y=x


(2)證明:f( )=﹣lna﹣ +1(a>0),

令g(x)=﹣lnx﹣ +1(x>0),則g′(x)=

∴0<x<1時,g′(x)>0,函數單調遞增;x>1時,g′(x)<0,函數單調遞減,

∴x=1時,函數取得極大值,即最大值,

∴g(x)≤g(1)=0,

∴f( )≤0;


(3)解:由題意可知,函數f(x)有且只有1個零點為(1,0),

則f′(1)=0,即1﹣2a+a=0

∴a=1


【解析】(1)求導數,確定切線的斜率,切點坐標,可得切線方程;(2)構造函數,確定函數的單調性與最值,即可證明結論;(3)由題意可知,函數f(x)有且只有1個零點為(1,0),則f′(1)=0,即可得出結論.

練習冊系列答案
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