【題目】設函數f(x)=lnx﹣ax2+ax,a為正實數.
(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)求證:f( )≤0;
(3)若函數f(x)有且只有1個零點,求a的值.
【答案】
(1)解:當a=2時,f(x)=lnx﹣2x2+2x,f′(x)= ﹣2x+2,
∴f′(1)=1,
∵f(1)=0,
∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是y=x
(2)證明:f( )=﹣lna﹣
+1(a>0),
令g(x)=﹣lnx﹣ +1(x>0),則g′(x)=
,
∴0<x<1時,g′(x)>0,函數單調遞增;x>1時,g′(x)<0,函數單調遞減,
∴x=1時,函數取得極大值,即最大值,
∴g(x)≤g(1)=0,
∴f( )≤0;
(3)解:由題意可知,函數f(x)有且只有1個零點為(1,0),
則f′(1)=0,即1﹣2a+a=0
∴a=1
【解析】(1)求導數,確定切線的斜率,切點坐標,可得切線方程;(2)構造函數,確定函數的單調性與最值,即可證明結論;(3)由題意可知,函數f(x)有且只有1個零點為(1,0),則f′(1)=0,即可得出結論.
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【題目】已知函數f(x)=sinωx+cosωx的最小正周期為π,x∈R,ω>0是常數.
(1)求ω的值;
(2)若f(+
)=
, θ∈(0,
),求sin2θ.
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【題目】已知函數 在(1,+∞)上是增函數,且a>0.
(Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)求函數g(x)=ln(1+x)﹣x在[0,+∞)上的最大值;
(Ⅲ)已知a>1,b>0,證明: .
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【題目】已知雙曲線x2﹣ =1的左右焦點分別為F1、F2 , 過點F2的直線交雙曲線右支于A,B兩點,若△ABF1是以A為直角頂點的等腰三角形,則△AF1F2的面積為 .
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【題目】銳角△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,若 ,則b2+c2的取值范圍是( )
A.(5,6]
B.(3,5)
C.(3,6]
D.[5,6]
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