Question

如圖，已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓Γ的離心率為

3

2

，焦距為2

3

，點A，B分別是橢圓Γ的右頂點和上頂點，點D是線段AB上的一動點，點C是橢圓Γ上不與A，B重合的一動點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程和△CAB的面積的最大值；
（Ⅱ）若滿足：

OD

=λ

OC

（λ＜0），求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）依題意設(shè)橢圓Γ的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由題意推導(dǎo)出

e= c a = 3 2 2c=2 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓Γ的方程．從而得到線段AB：

x

2

+y=1，（0≤x≤2），設(shè)直線l與直線AB平行與橢圓相切于x軸下方的P點，當(dāng)C點與P點重合時，△CAB的面積取到最大值．由此能求出△CAB的面積的最大值．
（Ⅱ）設(shè)D（x₀，y₀），x₀∈[0，2]，C（x₁，y₁），則

x1= x0 λ …(1) y1= y0 λ …(2)

，

x12

4

+y12=1，由此能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）依題意設(shè)橢圓Γ的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵橢圓Γ的離心率為

3

2

，焦距為2

3

，
∴

e= c a = 3 2 2c=2 3 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓Γ的方程為

x2

4

+y2=1．
∵點A，B分別是橢圓Γ的右頂點和上頂點，
∴A（2，0），B（0，1），
∴線段AB：

x

2

+y=1，（0≤x≤2）
設(shè)直線l與直線AB平行與橢圓相切于x軸下方的P點，
由題意知當(dāng)C點與P點重合時，
△CAB的面積取到最大值．
設(shè)直線AB的方程為y=-

1

2

x+m，
由

y=- 1 2 x+m x2 4 +y2=1

，消去y得x²-2mx+2m²-2=0．…（5分）
令△=（-2m）²-4（2m²-2）=0，
解得m=-

2

，或m=

2

（舍去）．…（6分）
所以直線l方程為x+2y+2

2

=0，
點C到直線AB的距離d等于直線l與直線AB的距離，
即d=

2 10 +2 5

5

，
所以△CAB的面積的最大值：
S=

1

2

•|AB|•d=

1

2

×

5

×

2 10 +2 5

5

=

2

+1．…（7分）
（Ⅱ）設(shè)D（x₀，y₀），x₀∈[0，2]，C（x₁，y₁），
∵

OD

=λ

OC

，∴

x0=λx1 y0=λy1

，
則

x1= x0 λ …(1) y1= y0 λ …(2)

…（8分）
∵點C（x₁，y₁）在橢圓Γ：

x2

4

+y2=1上，
∴

x12

4

+y12=1，…（3）
將（1）、（2）代入（3），得

x02

4λ2

+

y02

λ2

=1，即λ2=

x02

4

+y02，…（4）
∵D（x₀，y₀）在線段AB：

x

2

+y=1，（0≤x≤2）上，∴y0=

2-x0

2

，
∴（4）式化為λ2=

x02

4

+

(2-x0)2

4

=

1

2

(x0-1)2+

1

2

，
∵0≤x₀≤2，∴

1

2

≤λ2≤1，又λ＜0，
∴-1≤λ≤-

2

2

，∴λ的取值范圍是[-1，-

2

2

]．

點評：本題考查橢圓的方程的求法，考查三角形的最大值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．