Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，a∈R是常數(shù)．
（1）若a=1，求y=f（x）在點P（-1，f（-1））處的切線；
（2）是否存在常數(shù)a，使f（x）＜2x+1對任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常數(shù)a的取值范圍；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）先去絕對值，利用分段函數(shù)表示出函數(shù)f（x），根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=-1處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出化簡；
（2）討論x的正負，將a分離出來，x=0時，對任意a∈R恒成立，0＜x＜2時，轉化成x-2-

1

x

＜a＜2+x+

1

x

，然后利用導數(shù)研究兩邊函數(shù)的最值，得到a的范圍，x＜0時，轉化成a＞2+x+

1

x

或a＜x-2-

1

x

對任意x∈（-∞，2）恒成立，求出a的范圍，最后求出a的交集即可．

解答：解：（1）a=1時，f(x)=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1.

，在點P（-1，f（-1））附近，
f（x）=x-x²，f^/（x）=1-2x，所以P（-1，-2），k=f^/（-1）=3，所求切線方程為y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（2）f（x）＜2x+1即x|x-a|＜2x+1（*）
x=0時，（*）等價于0＜1，對任意a∈R恒成立．
0＜x＜2時，（*）等價于|x-a|＜2+

1

x

，即x-2-

1

x

＜a＜2+x+

1

x

，2+x+

1

x

≥4，等號當且僅當x=1時成立，
(x-2-

1

x

)/=1+

1

x2

＞0，y=x-2-

1

x

在0＜x＜2單調(diào)遞增，x-2-

1

x

＜-

1

2

，所以-

1

2

≤a＜4（9分）．
x＜0時，（*）等價于|x-a|＞2+

1

x

，即a＞2+x+

1

x

或a＜x-2-

1

x

，2+x+

1

x

=2-[(-x)+(-

1

x

)]≤2-2=0，
等號當且僅當-x=1即x=-1時成立，所以a＞0，
y=x-2-

1

x

在x＜0時的取值范圍為R，所以a＜x-2-

1

x

恒成立的a的解集為空集φ．
所以，常數(shù)a的取值范圍為R∩{a|-

1

2

≤a＜4}∩{a|a＞0}={a|0＜a＜4}．

點評：考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．