Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且對任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，則

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=（　�。�

• A、

  2010

  2011

• B、

  2011

  1006

• C、

  2011

  2012

• D、

  2010

  1006

Answer 1

分析：由a_n+m=a_m+a_n+mn對任意的m，n可得a_n+1=a_n+a₁+n=1+n，即a_n+1-a_n=1+n，利用疊加法可求a_n，然后在利用裂項求和的方法進行求解即可

解答：解：因為a_n+m=a_m+a_n+mn對任意的m，n∈N^*都成立
所以a_n+1=a_n+a₁+n=1+n
即a_n+1-a_n=1+n
所以a₂-a₁=2
   a₃-a₂=3
…
   a_n-a_n-1=n
把上面n-1個式子相加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
所以an=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

從而有

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=2(1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

則

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2011

=

2×2011

2012

=

2011

1006

故選：B

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，解題的關鍵是根據(jù)已知a_n+m=a_m+a_n+mn對任意的m，n都成立構造出a_n+1-a_n=1+n，從而構造出符合利用疊加法求通項的形式，解決本題的關鍵二是求出數(shù)列的通項后，還要能利用裂項目求和的方法進行求和，本題是一道構思巧妙的試題．