Question

（2013•鹽城三模）如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點．
（1）若PA=2，求直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點，過A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系．取AC的中點F，連接BF則BF⊥AC．根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得A、B、C、P、E各點的坐標(biāo)，從而得到向量

PB

、

AE

的坐標(biāo)，再用空間向量的夾角公式加以計算，結(jié)合異面直線所成的角的定義即可得到直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）設(shè)PA=a，可得

PB

、

PC

含有字母a的坐標(biāo)形式，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出平面PBC的一個法向量為

n1

=（

3

3

a，a，2），同理得到平面ADE的一個法向量

n2

=（-

3

3

a，-a，2），由平面ADE⊥平面PBC可得

n1

•

n2

=-

1

3

a²-a²+4=0，解之得a=

3

，由此即可得到線段PA的長．

解答：解：（1）如圖，取AC的中點F，連接BF，則BF⊥AC．以A為坐標(biāo)原點，過A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
則A（0，0，0），B（

3

，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）
∴

PB

=（

3

，1，-2），

AE

=（0，1，1）
設(shè)直線AE、PB所成的角為θ，則cosθ=|

PB • AE

| PB |•| AE |

|=

1

4

即直線AE與PB所成角的余弦值為

1

4

；
（2）設(shè)PA=a，則P（0，0，a），可得

PB

=（

3

，1，-a），

PC

=（0，2，-a）
設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=（x，y，z），則

n1

•

PB

=0且

n1

•

PC

=0
∴

3 x+y-az=0 2y-az=0

，令z=2，得y=a，x=

3

3

．
可得

n1

=（

3

3

a，a，2）是平面PBC的一個法向量
∵D、E分別為PB、PC中點，∴D（

3

2

，

1

2

，

a

2

），E（0，1，

a

2

）
因此，

AD

=（

3

2

，

1

2

，

a

2

），

AE

=（0，1，

a

2

），
類似求平面PBC法向量

n1

的方法，可得平面ADE的一個法向量

n2

=（-

3

3

a，-a，2）
∵平面ADE⊥平面PBC，
∴

n1

⊥

n2

，可得

n1

•

n2

=-

1

3

a²-a²+4=0，解之得a=

3

因此，線段PA的長等于

3

．

點評：本題給出側(cè)棱PA與底面△ABC垂直的三棱錐，求異面直線所成的角并在面面垂直的情況下求線段PA的長，著重考查了利用空間向量研究線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題．