Question

3．是否存在實數a，使f（x）=log_a（ax²-x）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[2，4]上是增函數？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 根據題意，設u（x）=ax²-x，再根據二次函數與對數函數的圖象與性質，
對字母系數a進行討論，求出滿足題意的a的取值范圍．

解答 解：設u（x）=ax²-x，則二次函數u的對稱軸為x=$\frac{1}{2a}$；
①當a＞1時，要使函數f（x）在[2，4]上為增函數，
則u（x）=ax²-x 在[2，4]上為增函數，
應滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤2}\\{u（2）=4a-2＞0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{1}{2}$；
綜上得，a＞1；
②當0＜a＜1 時，要使函數f（x）在[2，4]上為增函數，
則u（x）=ax²-x 在[2，4]上為減函數，
應滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥4}\\{u（4）=16a-4＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈∅；
綜上，a＞1時，函數f（x）=log_a（ax²-x）在區(qū)間[2，4]上為增函數．

點評 本題考查了復合函數的單調性問題，也考查了分類討論思想、轉化思想的應用問題，是綜合性題目．