Question

已知函數(shù)f（x）=x-

p

x

（x＞1）
（1）若函數(shù)在f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜2

Answer 1

分析：（1）函數(shù)在f（x）在定義域上是增函數(shù)，可知其導(dǎo)數(shù)為正在（1，+∞）上恒成立，由此不等式求解參數(shù)的范圍即可．
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜2即求解x-

p

x

＜2在（1，+∞）上的解集，由此可以將不等式變?yōu)槎�次不等式求解問題，x-

p

x

＜2在（1，+∞）上可變?yōu)閤²-2x-p＜0，由于此不等式中含有參數(shù)，故應(yīng)對參數(shù)范圍進行討論，分類解不等式．

解答：解：（1）由已知函數(shù)在f（x）在定義域上是增函數(shù)
故f′（x）=1+

p

x2

＞0在（1，+∞）恒成立，
即 p＞-x²在（1，+∞）恒成立，
由于-x²在（1，+∞）上的最大值小于-1，故可得p≥-1
即實數(shù)p的取值范圍是[-1，+∞）
（2）由x-

p

x

＜2及x＞1得x²-2x-p＜0
①當(dāng)p≤-1時，得△=4+4p≤0，此時x²-2x-p＜0無解；
②當(dāng)p＞-1時，可解得1-

1+p

＜x＜1+

1+p

且x＞1
所以得1＜x＜1+

1+p

點評：本題考點是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，運用方式是利用單調(diào)性得到參數(shù)所滿足的不等式，通過解不等式的解集求參數(shù)的取值范圍，第二小題考查了轉(zhuǎn)化法求解不等式，將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解，此轉(zhuǎn)化過程中有一易錯點，分式兩邊同乘以分母時要注意判斷分母的符號，若其為正則不等號方向不改變，若其符合為負，則去分母后要改變不等式的方向，本題中分母為正，故去分母后，不等號的方向不用改變．