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已知函數，滿足：①對任意，都有；

②對任意n∈N *都有．

（Ⅰ）試證明：為上的單調增函數；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）令，試證明：

 

 

 

 

【答案】

 解：（I） 由①知，對任意，都有，

由于，從而，所以函數為上的單調增函數

（II）令，則，顯然，否則，與矛盾.從而，而由,即得.

又由（I）知，即.

于是得，又，從而，即.

進而由知，.

于是,  

        ,             ,

,         ,

,       由于,

而且由（I）知，函數為單調增函數，因此.

從而. 

（Ⅲ）,

，.

即數列是以6為首項, 以3為公比的等比數列 .

    ∴   

于是,顯然,  

另一方面,

從而.     

綜上所述, . 

 

練習冊系列答案
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已知函數f（x）對任意x∈R滿足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若當x∈[0，1）時，f（x）=ax+b（a＞0且a≠1），且f(
3
2
)=
1
2
．
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（2）求函數g（x）=f2（x）+f（x）的值域．

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1
3

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（2）設an=nf（n）（ n∈N*），Sn是數列{an}的前n項和，求證：Sn＜
3
4

（3）設bn=
nf(n+1)
f(n)
（ n∈N*），數列{bn}的前n項和為Tn，若
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
＜
m-2000
2
對n∈N*恒成立，求最小正整數m．

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