Question

已知F₁（-1，0）、F₂（1，0）為橢圓的焦點，且直線x+y-

7

=0與橢圓相切．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，求△ABF₂的面積S的最大值，并求此時直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，由直線與橢圓相切知，直線方程與橢圓方程構(gòu)成的方程組只有一解，消y后由△=0即可解得a²值，注意a的范圍；
（Ⅱ）設(shè)過F₁的直線：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，S△ABF2=

1

2

×2c|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

，由韋達(dá)定理即可用m表示出S△ABF2，換元后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得面積的最大值及此時m值；

解答：解：（Ⅰ）依題意可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
由x+y-

7

=0得y=

7

-x，代入

x2

a2

+

y2

a2-1

=1消去y并整理得，（(2a2-1)x2-2

7

a2x+8a2-a4=0，
由△=28a⁴-4（2a²-1）（8a²-a⁴）=8a²（a⁴-5a²+4）=0，解得a²=1或a²=4，
因為a²＞1，所以a²=4，
所以橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)過F₁的直線：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
所以|y1-y2|=

36m2+36(3m2+4)

3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
S△ABF2=

1

2

×2c|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

，
令t=

m2+1

，則t≥1，S△ABF2=

12

3t+ 1 t

，
又(3t+

1

t

)′=3-

1

t2

＞0，所以3t+

1

t

遞增，(3t+

1

t

)min=3×1+1=4，當(dāng)t=1即m=0時取等號，
所以S△ABF2≤

12

4

=3，
當(dāng)m=0時，面積S最大為3，此時直線方程為x=-1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，考查函數(shù)思想在解決問題中的應(yīng)用，屬中檔題．