Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．?x∈R，f（x）=0
B．函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形
C．若x是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x ）在區(qū)間（-∞，x）上單調(diào)遞減
D．若x是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x ）=0

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于A，對(duì)于三次函數(shù)f （x ）=x³+ax²+bx+c，由于當(dāng)x→-∞時(shí)，y→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，故在區(qū)間（-∞，+∞）肯定存在零點(diǎn)；對(duì)于B：因?yàn)楹瘮?shù)f （x ）=x³+ax²+bx+c，都可能經(jīng)過中心對(duì)稱圖形的y=x³的圖象平移得到，故其函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形；對(duì)于C：采用取特殊函數(shù)的方法，若取a=-1，b=-1，c=0，則f（x）=x³-x²-x，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值和單調(diào)性進(jìn)行判斷；D：若x是f（x）的極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，則f′（x ）=0，正確．
解答：解：對(duì)于三次函數(shù)f （x ）=x³+ax²+bx+c，
A：由于當(dāng)x→-∞時(shí)，y→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，
故?x∈R，f（x）=0，正確；
B：②∵f（--x）+f（x）=（--x）3+a（--x）2+b（--x）+c+x³+ax²+bx+c=-+2c，
f（-）=（-）3+a（-）2+b（-）+c=-+c，
∵f（--x）+f（x）=2f（-），
∴點(diǎn)P（-，f（-））為對(duì)稱中心，故B正確．
C：若取a=-1，b=-1，c=0，則f（x）=x³-x²-x，
對(duì)于f（x）=x³-x²-x，∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-，1）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-），（1，+∞），減區(qū)間為：（-，1），
故1是f（x）的極小值點(diǎn)，但f（x ）在區(qū)間（-∞，1）不是單調(diào)遞減，故錯(cuò)；
D：若x是f（x）的極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，則f′（x ）=0，正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．