Question

（08年綿陽(yáng)市診斷三理）（12分）為坐標(biāo)原點(diǎn)，和兩點(diǎn)分別在射線≥上移動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為。

（1）求的值；

（2）求點(diǎn)的軌跡的方程，并說(shuō)明它表示怎樣的曲線？

（3）設(shè)點(diǎn)，若直線 與曲線交于、兩點(diǎn)，且、兩點(diǎn)都在以為圓心的圓上，求的取值范圍。

Answer 1

解析：（1）分別在射線上，

，即，

，

又，

。

，

�！�…2分

（2）設(shè)P(x,y)，

由可得

即

，

兩式相減有：，即�！�…6分

，且y_A、y_B不同時(shí)為0，

。

∴軌跡C的方程為，它表示雙曲線的上支�！�…5分

（3）

消去x，整理得：�！�…6分

∵直線y=kx+m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，

，

即……8分

由①整理得：m²+3k²-1>0，  ④

由③有：3k²-1<0           ⑤

∴由②有m>0。

又、N在以點(diǎn)G為圓心的圓上，

設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，則，即

，

。

，

。

又，

。

整理得4mk=3k²-1，⑥……10分

把⑥代入④中有：m²+4mk>0，

由m>0，所以m+4k>0，

又由⑥有，代入上式得，

，

中。

于是19k²-1<0。

解得。

再由3k²-1<0，得。

綜合得k的取值范圍為�！�…12分