Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-c，0），右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，c），△EFA的面積為$\frac{b^2}{2}$．
（I）求橢圓的離心率；
（II）設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上，|FQ|=$\frac{3}{2}$c，延長(zhǎng)線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)M，N在x軸上，PM∥QN，且直線PM與直線QN間的距離為c，四邊形PQNM的面積為3c．
（i）求直線FP的斜率；
（ii）求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的離心率為e．通過$\frac{1}{2}（c+a）c=\frac{b^2}{2}$．轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設(shè)直線FP的方程為x=my-c（m＞0），則直線FP的斜率為$\frac{1}{m}$．通過a=2c，可得直線AE的方程為$\frac{x}{2c}+\frac{y}{c}=1$，求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$（\frac{（2m-2）c}{m+2}，\frac{3c}{m+2}）$．利用|FQ|=$\frac{3c}{2}$，求出m，然后求解直線FP的斜率．
（ii）求出橢圓方程的表達(dá)式你，求出直線FP的方程為3x-4y+3c=0，與橢圓方程聯(lián)立通過$|FP|=\sqrt{{{（c+c）}^2}+{{（\frac{3c}{2}）}^2}}=\frac{5c}{2}$，結(jié)合直線PM和QN都垂直于直線FP．結(jié)合四邊形PQNM的面積為3c，求解c，然后求橢圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的離心率為e．由已知，可得$\frac{1}{2}（c+a）c=\frac{b^2}{2}$．又由b²=a²-c²，可得2c²+ac-a²=0，即2e²+e-1=0．又因?yàn)?＜e＜1，解得$e=\frac{1}{2}$．
所以，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）（�。┮李}意，設(shè)直線FP的方程為x=my-c（m＞0），則直線FP的斜率為$\frac{1}{m}$．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直線AE的方程為$\frac{x}{2c}+\frac{y}{c}=1$，即x+2y-2c=0，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得$x=\frac{（2m-2）c}{m+2}，y=\frac{3c}{m+2}$，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$（\frac{（2m-2）c}{m+2}，\frac{3c}{m+2}）$．
由已知|FQ|=$\frac{3c}{2}$，有${[\frac{（2m-2）c}{m+2}+c]^2}+{（\frac{3c}{m+2}）^2}={（\frac{3c}{2}）^2}$，整理得3m²-4m=0，所以$m=\frac{4}{3}$，即直線FP的斜率為$\frac{3}{4}$．
（ii）解：由a=2c，可得$b=\sqrt{3}c$，故橢圓方程可以表示為$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$．
由（i）得直線FP的方程為3x-4y+3c=0，與橢圓方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+3c=0\\ \frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1\end{array}\right.$消去y，整理得7x²+6cx-13c²=0，解得$x=-\frac{13c}{7}$（舍去），或x=c．因此可得點(diǎn)$P（c，\frac{3c}{2}）$，進(jìn)而可得$|FP|=\sqrt{{{（c+c）}^2}+{{（\frac{3c}{2}）}^2}}=\frac{5c}{2}$，所以$|PQ|=|FP|-|FQ|=\frac{5c}{2}-\frac{3c}{2}=c$．由已知，線段PQ的長(zhǎng)即為PM與QN這兩條平行直線間的距離，故直線PM和QN都垂直于直線FP．
因?yàn)镼N⊥FP，所以$|QN|=|FQ|•tan∠QFN=\frac{3c}{2}×\frac{3}{4}=\frac{9c}{8}$，所以?÷FQN的面積為$\frac{1}{2}|FQ||QN|=\frac{{27{c^2}}}{32}$，同理?÷FPM的面積等于$\frac{{75{c^2}}}{32}$，由四邊形PQNM的面積為3c，得$\frac{{75{c^2}}}{32}-\frac{{27{c^2}}}{32}=3c$，整理得c²=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，橢圓的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．