Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90℃，BC=2AD，△PAB與△PAD都是等邊三角形，平面ABCD⊥平面PBD．
（I）證明：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC中點E，推導出四邊形ABED為正方形，從而CD⊥BD，由此能證明CD⊥平面PBD．
（II）由（I）知CD⊥平面PBD，從而CD⊥PD．取PD的中點F，PC的中點G，連結(jié)FG，連結(jié)AF，得∠AFG為二面角A-PD-C的平面角，由此能示出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 證明：（I）取BC中點E，連結(jié)AE、BD，
∵△PAB和△PCD都是等邊三角形，∴AD=AB，
∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，∴四邊形ABED為正方形，
設(shè)AB=2，則BD=CD=2$\sqrt{2}$，BC=4，
∴BD²+CD²=BC²，
∴CD⊥BD，
∵平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD=BD，
∴CD⊥平面PBD．
解：（II）由（I）知CD⊥平面PBD，又PD?面PBD，∴CD⊥PD．
取PD的中點F，PC的中點G，連結(jié)FG，
則FG∥CD，F(xiàn)G⊥PD．
連結(jié)AF，由△APD為等邊三角形，得AF⊥PD．
∴∠AFG為二面角A-PD-C的平面角．
連結(jié)AG、EG，則EG∥PB．
又PB⊥AE，∴EG⊥AE，
設(shè)AB=2，則AE=2$\sqrt{2}$，EG=$\frac{1}{2}PB$=1，
AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=3，
在△AFG中，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}CD$=$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{3}$，AG=3，
∴cos∠AFG=$\frac{F{G}^{2}+A{F}^{2}-A{G}^{2}}{2×FG×AF}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求不地，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．