Question

已知數(shù)列{log2(an-2)}(n∈N*)為等差數(shù)列，且a₁=5，a₃=29．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意n∈N^*，

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立的實(shí)數(shù)m是否存在最小值？如果存在，求出m的最小值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)等差數(shù)列{log₃（a_n-2）}的公差為d．
由a₁=5，a₃=29得log₃27=log₃3+2d，即d=1．
所以log₂（a_n-2）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+2．
（2）證明：因?yàn)?span mathtag="math" >

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

，
所以

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2  - 1 2n × 1 2

1- 1 2

=1-

1

2n

，
要

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立，
即1-

1

2n

＜m，由于1-

1

2n

＜1，
∴m≥1．
故存在m的最小值1，使得對(duì)任意n∈N^*，

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立．