Question

14．設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x，y都滿足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1即可計(jì)算出f（1）；
（2）根據(jù)題意得出f（4）=2，所以不等式f（x）+f（x-3）≤2轉(zhuǎn)化為f[x（x-3）]≤f（4），再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出x范圍；

解答 （1）令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；
（2）2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]；
∵f（x）+f（x-3）≤2 即f[x（x-3）]≤f（4）；
∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x（x-3）≤4}\\{x＞0}\\{x-3＞0}\end{array}\right.$⇒3＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集為{x|3＜x≤4}．

點(diǎn)評 本題主要考查了新定義抽象函數(shù)的具體應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性知識點(diǎn)，屬中檔題．