Question

19．某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，發(fā)布成績使用等級(jí)制．各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見表．規(guī)定：A．B．C三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí)．

百分制	85以及以上	70分到84分	60分到69分	60分以下
等級(jí)	A	B	C	D

為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中原始成績?cè)?0分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示．
（I）求n和頻率分布直方圖中的x，y的值；并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績是合格等級(jí)的概率；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從A、D兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生是A等級(jí)的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知先求出樣本容量n，由此能求出頻率分布直方圖中的x，y的值，估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績是合格等級(jí)的概率．
（Ⅱ）法一：由莖葉圖知，A等級(jí)學(xué)生共有3名，D等級(jí)學(xué)生共有5名，由此能求出至少有一名學(xué)生是A等級(jí)的概率．
法二：由莖葉圖知，A等級(jí)學(xué)生共有3名，設(shè)為A，B，C，D等級(jí)學(xué)生共有0.1×50=5名，設(shè)為a，b，c，d，e，利用列舉法能求出至少有一名學(xué)生是A等級(jí)的概率．

解答 解：（Ⅰ）由題意知樣本容量n=$\frac{6}{0.012×10}$=50，
x=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
y=$\frac{1-0.04-0.1-0.12-0.56}{10}$=0.018，
∴成績是合格等級(jí)人數(shù)為：（1-0.1）×50=45，
抽取的50人中成績是合格等級(jí)的頻率為$\frac{9}{10}$，
依據(jù)樣本總體的思想，
∴該校高一年級(jí)學(xué)生成績是合格等級(jí)的概率是$\frac{9}{10}$．
（Ⅱ）（解法一）由莖葉圖知，A等級(jí)學(xué)生共有3名，D等級(jí)學(xué)生共有0.1×50=5名，
從8名學(xué)生中任取2名學(xué)生，基本事件總數(shù)n=${C}_{8}^{2}$=28，
至少有一名學(xué)生是A等級(jí)的對(duì)立事件是兩名學(xué)生都是D等級(jí)，
∴至少有一名學(xué)生是A等級(jí)的概率P=1-$\frac{{C}_{5}^{2}}{28}$=$\frac{9}{14}$．
（Ⅱ）（解法二）由莖葉圖知，A等級(jí)學(xué)生共有3名，設(shè)為A，B，C，
D等級(jí)學(xué)生共有0.1×50=5名，設(shè)為a，b，c，d，e，
從8名學(xué)生中任取2名學(xué)生，基本事件有：
AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，Ca，
Cb，Cc，Cd，Ce，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有28個(gè)，
至少有一名學(xué)生是A等級(jí)的對(duì)立事件是兩名學(xué)生都是D等級(jí)，
兩名學(xué)生都是D等級(jí)包含的基本事件有：
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10個(gè)，
∴至少有一名學(xué)生是A等級(jí)的概率P=1-$\frac{10}{28}$=$\frac{9}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．