Question

數列中，a_n＞0，a_n≠1，且（n∈N^*）．
（1）證明：a_n≠a_n+1；
（2）若，計算a₂，a₃，a₄的值，并求出數列的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）采用反證法證明，先假設兩種相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值為常數0或1，進而得到此數列為是0或1的常數列，與已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假設錯誤，兩種不相等；
（2）把n=1及，代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值；且化簡成進而得到，從而判斷數列是等比數列，即可得到這個數列的通項公式a_n．
解答：解：（1）若a_n=a_n+1，即，得a_n=0或a_n=1與題設矛盾，
∴a_n≠a_n+1…（6分）
（2），，…（8分）
由，得，
∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴，得…（14分）
點評：此題考查數列的遞推式，此題利用反證法對命題進行證明，是一道中檔題．