Question

定義在R上且恒為正的函數(shù)f（x）滿足

f′(x)

f(x)

＞-1，若f（2）=1，則f（x）＞e^2-x的解集為

 

．

Answer 1

分析：定義在R上且恒為正的函數(shù)f（x）滿足

f′(x)

f(x)

＞-1，可得f（x）+f′（x）＞0．令g（x）=e^xf（x），利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]＞0，進(jìn)而得到函數(shù)g（x）在R上的單調(diào)性．f（x）＞e^2-x即e^xf（x）＞e²．由于f（2）=1，可知上述不等式?g（x）＞g（2）．解出即可．

解答：解：∵定義在R上且恒為正的函數(shù)f（x）滿足

f′(x)

f(x)

＞-1，
∴f（x）+f′（x）＞0．
令g（x）=e^xf（x），
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]＞0，
∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增．
∴f（x）＞e^2-x，
即e^xf（x）＞e²．
∵f（2）=1，
∴上述不等式?g（x）＞g（2）．
∴x＞2．
∴f（x）＞e^2-x的解集為（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式，屬于難題．