Question

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，過(guò)F₁且斜率為k的直線交橢圓于A、B，且，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）一個(gè)頂點(diǎn)為，即a=，離心率為，可得c=1，再由a²=b²+c²，可得b=1，從而的橢圓方程
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線AB的方程為 y=k（x+1）代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，從而得x₁+x₂、x₁x₂、y₁+y₂，而即，代入可得方程，解之即得k值
解答：解：（I）由已知得，解得a=，c=1
∴b==1
∴所求橢圓的方程為          
（II）由（I）得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
直線AB的方程為 y=k（x+1），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=，
又∵
∴
∴代入x₁+x₂與y₁+y₂的值
化簡(jiǎn)得40k⁴-23k²-17=0
解得k²=1或k²=（舍去）
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1
點(diǎn)評(píng)：本題考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交的關(guān)系，解題時(shí)要特別體會(huì)韋達(dá)定理在解題中的重要作用，設(shè)而不求的解題思想