Question

某個(gè)凸多面體有32個(gè)面，各面是三角形或五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)都相等，則這個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)可以是

1. A.
   60
   
2. B.
   45  
   
3. C.
   30 
   
4. D.
   15

Answer 1

C
設(shè)這個(gè)凸多面體有n個(gè)面是三角形，則是五邊形的面有32－n個(gè)，此時(shí)總棱數(shù)
條．
由歐拉定理可知，V＋32－E＝2，
∴V＝50－n．
又設(shè)每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)為m條(其中3≤m≤5且m∈N*)，由于每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)都相等，則總棱數(shù)條，由歐拉定理可知，，
∴50－n＝(其中3≤m≤5且m∈N*)．然后討論這個(gè)不定方程的自然數(shù)解：
當(dāng)m＝3時(shí)，可得n＝－10，不合題意，舍去；
當(dāng)m＝4時(shí)，可得n＝20，∴V＝30；
當(dāng)m＝5時(shí)，可得n＝30，∴V＝20．