Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M(1 ，

3

2

)在橢圓上，且|MF₁|+|MF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足

AP

+

BP

=

0

，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0 ，

3

2

)，設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率是k₁，且k₁•k=2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點(diǎn)M(1 ，

3

2

)在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，且|MF₁|+|MF₂|=4，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，及向量知識(shí)，結(jié)合k₁•k=2，建立不等式，即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)M(1 ，

3

2

)在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，且|MF₁|+|MF₂|=4，
所以

1

a2

+

3

4b2

=1，2a=4．
所以a²=4，b²=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

+y2=1．…..（3分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程組

y=kx+t  x2 4 +y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0．
所以△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）＞0，…..（4分）
即1+4k²＞t²．①…..（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=

-8kt

1+4k2

．…..（6分）
因?yàn)?span id="br8y770" class="MathJye">

AP

+

BP

=

0

，所以點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
設(shè)P（x_P，y_P），所以xp=

-4kt

1+4k2

，yp=kxP+t=

1

1+4k2

．…..（8分）
因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0 ，

3

2

)，直線(xiàn)PQ的斜率是k₁，
所以k1=

yP- 3 2

xP

=

2t-3(1+4k2)

-8kt

．…..（10分）
因?yàn)閗₁•k=2，所以k•

2t-3(1+4k2)

-8kt

=2．
所以1+4k²=6t．②…..（12分）
所以由①，②式，可得  6t＞t²且6t＞1．
所以1＜t＜6．
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是1＜t＜6．…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．