Question

△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．
（Ⅰ）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（Ⅱ）若c=，且△ABC的面積為，求a+b的值；
（Ⅲ） 判斷當(dāng)sinA+sinB取最大值時(shí)，△ABC的形狀．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/36187.png' />，即，
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
得 sin（C-A）=sin（B-C）．
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C）（不成立）．
即 2C=A+B，得C=，所以B+A=．
又因?yàn)閟in（B-A）=cosC=，
則B-A=，或B-A=（舍去）
得A=，B=，C=．
（Ⅱ）∵C=，C=，由面積公式得
，即ab=6，
由余弦定理得
，即a²+b²-ab=7，②
由②變形得（a+b）²=25，∴a+b=5．
（Ⅲ）C=，所以B+A=，
sinA+sinB=sinA+sin==sin（）．
∵，∴，
∴，∴sinA+sinB∈（0，1]，
∴當(dāng)sinA+sinB取最大值時(shí)，A=，∴B=，
所以此時(shí)△ABC是直角三角形．
分析：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/36187.png' />，所以sinCcosA-cosCsinA=cosCsinA-sinCcosB，得 sin（C-A）=sin（B-C）．由此能求出A，C．
（Ⅱ）由C=，C=，得，即ab=6，由余弦定理得，即a²+b²-ab=7，由此能求出a+b．
（Ⅲ）C=，所以B+A=，sinA+sinB=sinA+sin==sin（）．由此能求出當(dāng)sinA+sinB取最大值時(shí)△ABC是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理、三角形面積公式的靈活運(yùn)用．