Question

已知函數(shù)(）是奇函數(shù)，有最大值

且.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）是否存在直線與的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 對稱，若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）過P、Q的直線l的方程：x－4y－1=0

【解析】(1)由于f(x)為奇函數(shù)，可知f(-x)+f(x)=0恒成立，據(jù)此可求出c=0.

∴f(x)=.由a＞0，,所以當(dāng)x>0時(shí)，才可能取得最大值，所以x＞0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，f(x)有最大值,

從而得到a=b²  ,再結(jié)合f(1)＞，∴＞,

∴5b＞2a+2,,可求出a,b的值.

(2)本小題屬于存在性問題，先假設(shè)存在，設(shè)P(x₀,y₀),根據(jù)P、Q關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而確定Q的坐標(biāo)，所以PQ的方程易求.

解：（1）∵f(x)是奇函數(shù)，

∴f(–x)=－f(x)，即，

∴－bx+c=－bx–c，

∴c=0，------------2分

∴f(x)=.由a＞0，，      當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)≤0，

當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0時(shí)取得.

∴x＞0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)

即時(shí)，f(x)有最大值∴=1,∴a=b²         ①

又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2   ②

把①代入②得2b²–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,a=1, ----------4分

∴f(x)=              ------------7分

（2）設(shè)存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，

P(x₀,y₀)則Q（2–x₀,–y₀)，∴,消去y₀，得x₀²–2x₀–1=0---9分

解之，得x₀=1±,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為()或()，

進(jìn)而相應(yīng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q（）或Q()， -------11分

過P、Q的直線l的方程：x－4y－1=0即為所求. -----------15分