【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0),離心率e= ,已知點(diǎn)P(0, )到橢圓C的右焦點(diǎn)F的距離是 .設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P且斜率存在的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),線段AB的中垂線與x軸相交于一點(diǎn)Q. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x0的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由題意可得:e= = , = ,又a2+b2=c2 . 聯(lián)立解得:c2=12,a=4,b=2.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為: =1.
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為:y=kx+ ,(k≠0),A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點(diǎn)M(x3 , y3),線段AB的中垂線方程為:y﹣y3=﹣ (x﹣x3).
聯(lián)立 ,化為:(1+4k2)x2+12kx﹣7=0,
△>0,∴x1+x2=﹣ ,
∴x3= =﹣ .
y3=kx3+ = .
∴線段AB的中垂線方程為:y﹣ =﹣ (x+ ).
令y=0,可得x0= = ,
k>0時(shí),0>x0≥ .
k<0時(shí),0<x0≤ .
k=0時(shí),x0=0也滿足條件.
綜上可得:點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x0的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)由題意可得:e= = , = ,又a2+b2=c2 . 聯(lián)立解出即可得出.(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為:y=kx+ ,(k≠0),A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點(diǎn)M(x3 , y3),直線AB的方程與題意方程聯(lián)立化為:(1+4k2)x2+12kx﹣7=0,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與根與系數(shù)的關(guān)系可得可得中點(diǎn)M的坐標(biāo),可得線段AB的中垂線方程,令y=0,可得x0 , 通過對(duì)k分類討論,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(2a-b)cosC-ccosB=0.
(Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)若三邊a,b,c滿足a+b=13,c=7,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓的離心率,是橢圓的右焦點(diǎn),直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).
()求橢圓的方程.
()設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于,兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程式.
(Ⅱ)定點(diǎn),為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值;并求出取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)求.
(Ⅲ)定直線,為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),證明點(diǎn)到的距離與到定直線的距離的比值為常數(shù),并求出此常數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=axex , 其中常數(shù)a≠0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅲ)若直線y=e(x﹣ )是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(1)求證:MN∥平面BDE;
(2)求二面角CEMN的正弦值;
(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國內(nèi)某知名大學(xué)有男生14000人,女生10000人,該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況,根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取120人,統(tǒng)計(jì)他們平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,如下表:(平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間單位:小時(shí),該校學(xué)生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是).
男生平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間分布情況:
女生平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間分布情況:
(1)請(qǐng)根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(結(jié)果精確到0.1);
(2)若規(guī)定平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”,低于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.
①請(qǐng)根據(jù)樣本估算該校“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的數(shù)量;
②請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并通過計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’與性別有關(guān)?”
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=mxα的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,2).
(1)試比較2ln f(3)與3ln f(2)的大;
(2)定義在R上的函數(shù)g(x)滿足g(-x)=g(x), g(4+x)=g(4-x),且當(dāng)x∈[0,4]時(shí),
. 若關(guān)于x的不等式g 2(x)+ng(x)>0在[-200,200]上有且只有151個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)n的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB⊥BC,BA=BC,BD是邊AC上的高,沿BD將△ABC折起,當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時(shí),該三棱錐外接球表面積為( 。
A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π
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