已知：a＞0，b＞0，a+b=1，
（1）求證：
a+
1
2
+
b+
1
2
≤2； 
（2）求：
1
a
+
1
b
+
1
ab
的最小值．
分析：（1）由基本不等式可得ab≤
1
4
，故有
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤1，從而有  2+2
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤4，即（
a+
1
2
+
b+
1
2
 ）2≤4，可得不等式成立．
（2）根據(jù)基本不等式可得ab≤
1
4
，而
1
a
+
1
b
+
1
ab
=
2
ab
，從而求出所求．
解答：解：（1）證明：因為1=a+b≥2
ab
，所以ab≤
1
4
，所以 
1
2
 （a+b）+ab+
1
4
≤1，
所以
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤1，從而有  2+2
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤4，
即：（a+
1
2
 ）+（b+
1
2
 ）+2
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤4，
即：（
a+
1
2
+
b+
1
2
 ）2≤4，所以原不等式成立．
（2）
1
a
+
1
b
+
1
ab
=
2
ab
，
∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴
ab
≤
a+b
2
=
1
2
，即ab≤
1
4
當且僅當a=b=
1
2
是等號成立
∴
1
a
+
1
b
+
1
ab
=
2
ab
≥8，即當a=b=
1
2
時，
1
a
+
1
b
+
1
ab
的最小值為8．
點評：本題考查用綜合法證明不等式，得到：（a+
1
2
 ）+（b+
1
2
 ）+2
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤4，是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：a＞0，b＞0，且a+b=1．求證
1
a
+
1
b
≥4．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log
1
2
x與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y=x對稱，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，則
4
a
+
1
b
的最大值為
-9
-9

（2）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=g（x）-1，若關(guān)于x的方程f（x）-lo
g
(x+2)
a
=0（a＞1）在區(qū)間（-2，6]內(nèi)恰有三個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是
(
34
，2)
(
34
，2)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.則事件“抽到的是二等品或三等品”的概率為(　　)

A．0.7                                  B．0.65

C．0.35                                 D．0.3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分13分）

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡為曲線W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)經(jīng)過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，已知點M（，0），

N（0, 1），是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，

請說明理由.

  

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分13分）

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡為曲線W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)經(jīng)過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，已知點M（，0），

N（0, 1），是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，

請說明理由.

  

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