已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n,設(shè)數(shù)列{bn}滿足an=log2bn,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
(3)設(shè)Gn=a1•b1+a2•b2+…+an•bn,求Gn
分析:(1)利用數(shù)列中an與 Sn關(guān)系an=
Sn     n=1
Sn-Sn-1    n≥2
解決.
(2)由(1)應(yīng)求得an=2n+1,得bn=2an=22n+1,易知數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,求出首項(xiàng)、公比后依據(jù)公式計(jì)算即可.
(3)利用錯(cuò)位相消法求和計(jì)算.
解答:解:(1)∵Sn=n2+2n
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1;當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,也滿足上式,
∴綜上得an=2n+1…(5分)
(2)由an=log2bnbn=2an=22n+1
bn+1
bn
=
22n+3
22n+1
=4
,
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,其中b1=8,q=4
Tn=23+25+…+22n+1=
8(1-4n)
1-4
=
8
3
(4n-1)
…(10分)
(3)Gn=3•23+5•25+…+(2n+1)•22n+1
4Gn=3•25+5•27+…+(2n-1)•22n+1+(2n+3)•22n+3
兩式相減得:-3Gn=3•23+(2•25+2•27…+2•22n+1)-(2n+1)•22n+3
即:-3Gn=24+(26+28…+22n+2)-(2n+1)•22n+3=24+
16(1-4n-1)
1-4
-(2n+1)•22n+3=
8-(48n+8)4n
3

Gn=
(48n+8)4n-8
9
…(15分)
點(diǎn)評(píng):本題考查利用數(shù)列中an與 Sn關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng).等比數(shù)列的判定,公式法求和,錯(cuò)位相消法數(shù)列求和.考查轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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