Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=n2+2n，設數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n，求G_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列中a_n與 Sn關系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

解決．
（2）由（1）應求得a_n=2n+1，得bn=2an=22n+1，易知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求出首項、公比后依據(jù)公式計算即可．
（3）利用錯位相消法求和計算．

解答：解：（1）∵Sn=n2+2n
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1；當n=1時，a₁=S₁=3，也滿足上式，
∴綜上得a_n=2n+1…（5分）
（2）由a_n=log₂b_n得bn=2an=22n+1，
∴

bn+1

bn

=

22n+3

22n+1

=4，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其中b₁=8，q=4
∴Tn=23+25+…+22n+1=

8(1-4n)

1-4

=

8

3

(4n-1)…（10分）
（3）Gn=3•23+5•25+…+(2n+1)•22n+1
∴4Gn=3•25+5•27+…+(2n-1)•22n+1+(2n+3)•22n+3
兩式相減得：-3Gn=3•23+(2•25+2•27…+2•22n+1)-(2n+1)•22n+3
即：-3Gn=24+(26+28…+22n+2)-(2n+1)•22n+3=24+

16(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)•22n+3=

8-(48n+8)4n

3

∴Gn=

(48n+8)4n-8

9

…（15分）

點評：本題考查利用數(shù)列中a_n與 Sn關系求數(shù)列通項．等比數(shù)列的判定，公式法求和，錯位相消法數(shù)列求和．考查轉化、構造、計算能力．