Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象開口向下，對稱軸為x=1，圖象與x軸的兩個交點中，一個交點的橫坐標x₁∈（2，3），則以下結論中：①abc＞0；   ②a+b+c＜0；   ③a+c＜b；   ④3b＞2c；  ⑤3a+c＞0．正確的序號是

③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)一元二次函數(shù)圖象的對稱性及圖象與x軸的兩個交點中，一個交點的橫坐標x₁∈（2，3），
f（2）=f（0）＞0，f（3）=f（-1）＜0；
圖象開口向下可得a＜0，對稱軸方程x=∵-

b

2a

=1⇒b=-2a，c=f（0）＞0，可判斷①是否正確；
利用f（1）=a+b+C來判斷②是否正確；
利用 f（-1）=f（3）=a-b+c來判斷③是否正確；
利用f（-1）=a-b+c與b=-2a來判斷④是否正確；
利用f（3）=9a+3b+c與b=-2a來判斷⑤是否正確．

解答：解：根據(jù)題意得a＜0；f（1）=a+b+C＞0；-

b

2a

=1；f（2）=4a+2b+c＞0；f（3）=9a+3b+c＜0．
∵-

b

2a

=1⇒b=-2a＞0，f（0）=f（2）=c＞0，∵a＜0，∴abc＜0，∴①×；
∵f（1）=a+b+C＞0f（1）=a+b+C＞0，∴②×；
∵根據(jù)一元二次函數(shù)的對稱性，f（-1）=f（3）=a-b+c＜0⇒a+c＜b，∴③√；
∵f（-1）=a-b+c=-

b

2

-b+c=f（3）＜0⇒2c＜3b，∴④√；
∵a+b+C＞0⇒3a+3b+3C＞0，∵9a+3b+c＜0⇒-6a+2c＞0，∵b=-2a
∵b=-2a，9a+3b+c=3a+c＜0，∴⑤×；
故答案是③④

點評：本題考查了一元二次函數(shù)的圖象的對稱性，及一元二次方程根的分布．利用一元二次函數(shù)圖象分析一元二次方程的解（函數(shù)的零點）的分布與一元二次不等式的解集是此類題的常用方法．