給出下列四個命題：①若y=±
3
x是一個雙曲線的兩條漸近線，則這個雙曲線的離心率為2；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
③若a＞0，b＞0，且a+b=4，則
1
a2+b2
的最大值是
1
8
；
④若f（x）=1-|x-1|（x＞0），則函數(shù)F（x）=xf（x）-1只有一個零點，
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．（將你認為正確命題的序號都填上）．
分析：根據(jù)雙曲線漸近線的定義，可得①不正確；根據(jù)三角形大角對大邊，結合正弦定理可得②正確；利用基本不等式求最值，可得③正確；對x的范圍進行討論，分別求函數(shù)F（x）的零點，可得④是真命題．
解答：解：對于①，y=±
3
x是雙曲線的兩條漸近線，可得
b
a
=
3
或
a
b
=
3
，所以雙曲線的離心率為2或
2
3
3
，故①錯；
對于②，在△ABC中，“A＞B”等價于“a＞b”，結合正弦定理得“a＞b”等價于“sinA＞sinB”
故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，得②正確；
對于③，由基本不等式，得2（a2+b2）≥（a+b）2=16，所以a2+b2的最小值為8，
結合a、b都是正數(shù)，可得
1
a2+b2
的最大值是
1
8
，故③正確；
對于④，因為x＞0，所以xf（x）-1=0即f（x）=
1
x
，
當x≥1時，2-x=
1
x
，解得x=1；當0＜x＜1時，-x=
1
x
，無實數(shù)根
因此函數(shù)F（x）=xf（x）-1只有一個零點x=1，得④是真命題．
故答案為：②③④
點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了雙曲線的幾何性質、正弦定理的應用和利用基本不等式求最值等知識，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

12、已知a、b是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：
①若a⊥α，a⊥β，則α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，則a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b．
其中正確命題的序號有
①④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①函數(shù)y=
1
x
的單調減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函數(shù)y=x2-4x+6，當x∈[1，4]時，函數(shù)的值域為[3，6]；
③函數(shù)y=3（x-1）2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個單位得到；
④若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，則A∩B=A．
其中正確命題的序號是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將邊長為2，銳角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成二面角A-BD-C，點E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點，給出下列四個命題：
①EF∥AB；②直線EF是異面直線AC與BD的公垂線；③當二面角A-BD-C是直二面角時，AC與BD間的距離為
6
2
；④AC垂直于截面BDE．
其中正確的是
②③④
②③④
（將正確命題的序號全填上）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題，其中正確的命題的個數(shù)為（　�。�
①命題“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
②log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2；
③函數(shù)y=tan
x
2
的對稱中心為（kπ，0），k∈Z；
④[cos（3-2x）]′=-2sin（3-2x）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同；
③函數(shù)y=
1
2
+
1
2x-1
與y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=（x-1）2與y=2x-1在區(qū)間[0，+∞）上都是增函數(shù)，其中正確命題的序號是（　�。�

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