Question

（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。

（1）求，的值；

（2）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），。（Ⅱ）k的取值范圍為（-，0]

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，可知f’(1)=- ,f(1)=1,進(jìn)而得到參數(shù)a,b的值。

（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)于參數(shù)k分類討論得到參數(shù)的取值范圍。

（Ⅰ）

    由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即

                           解得，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

                。

考慮函數(shù)，則

。

(i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，。而，故

當(dāng)時(shí)，，可得；

當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）<0，可得 h（x）>0

從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）設(shè)0<k<1.由于當(dāng)x（1，）時(shí)，（k-1）（x² +1）+2x>0,故 (x）>0,而

h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾。

（iii）設(shè)k1.此時(shí)（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾。

綜合得，k的取值范圍為（-，0]

考點(diǎn)：本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，以及寒素的最值的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到參數(shù)a,b的值，得到解析式。

要證明不等式恒成立，要構(gòu)造整體的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性得到參數(shù)k的范圍。