設(shè)函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),是否存在整數(shù)
,使不等式
恒成立?若存在,求整數(shù)
的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
(Ⅲ)關(guān)于的方程
在
上恰有兩個(gè)相異實(shí)根,求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
解析:(Ⅰ)由得函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
,
。
……………………… 2分
由得
;由
得
,
∴函數(shù)的遞增區(qū)間是
;遞減區(qū)間是
! 4分
(Ⅱ)由(1)知,在
上遞減,在
上遞增。 ∴
又∵,
,且
,
∴時(shí),
。 ………………… 6分
∵不等式恒成立, ∴
,
即
∵是整數(shù),∴
。
∴存在整數(shù),使不等式
恒成立! 9分
(Ⅲ)由得
,
令,則
,
由得
;由
得
。
∴在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增. …………… 11分
∵方程在
上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,
∴函數(shù)在
和
上各有一個(gè)零點(diǎn),
∴,
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是
…………… 14分
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