Question

已知函數(shù)f（x）=x²-a^x（a＞0且a≠1），當(dāng)x∈（-1，1）時，f(x)＜

1

2

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[

1

2

，1）∪（1，2]

．

Answer 1

分析：數(shù)形結(jié)合法：把f(x)＜

1

2

變?yōu)閤²-

1

2

＜a^x，分a＞1和0＜a＜1兩種情況作出兩函數(shù)y=x²-

1

2

，y=a^x的圖象，結(jié)合題意即可得到a的范圍．

解答：解：當(dāng)x∈（-1，1）時，f(x)＜

1

2

，即x²-a^x＜

1

2

，也即x²-

1

2

＜a^x，
令y=x²-

1

2

，y=a^x，
①當(dāng)a＞1時，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：
此時，由題意得

a＞1 (-1)2- 1 2 ≤a-1

，解得1＜a≤2；
②當(dāng)0＜a＜1時，作出兩函數(shù)圖象，如圖所示：
此時，由題意得

0＜a＜1 12- 1 2 ≤a

，解得

1

2

≤a＜1．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

2

，1)∪(1，2]．
故答案為：[

1

2

，1)∪(1，2]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，本題滲透了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想．