Question

設(shè)二次函數(shù)滿足f(x－2)＝f(－x－2)，圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，圖像與x軸的交點(diǎn)為A、B，且|AB|＝，求f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1． 　　∵f(x－2)＝f(－x－2)， 　　∴a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝a(x＋2)2－b(x＋2)＋c， 　　化簡(jiǎn)，得2(4a－b)x＝0，即4a－b＝0　　　　　① 　　令f(x)＝0，即ax2＋bx＋1＝0(a≠0)， 　　設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)． 　　則由方程根與系數(shù)的關(guān)系， 　　有x1＋x2＝，x1x2＝， 　　由|AB|＝，即|x1－x2|＝， 　　知(x1－x2)2＝()2，即(x1＋x2)2－4x1x2＝8． 　　將x1＋x2＝，x1x2＝代入，得 　　－8＝0，即b2－4a－8a2＝0　　　　　　② 　　聯(lián)立①②兩方程求解，得a＝，b＝2． 　　解得f(x)＝x2＋2x＋1． 　　解法二：由f(x－2)＝f(－x－2)， 　　知函數(shù)f(x)的圖像有對(duì)稱軸x＝－2， 　　∴設(shè)f(x)＝a(x＋2)2＋k(a≠0)， 　　由f(0)＝1，得4a＋k＝1　　　　　　　　　　�、� 　　令f(x)＝0，即ax2＋4ax＋(4a＋k)＝0， 　　將①代入，得ax2＋4ax＋1＝0． 　　設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1＋x2＝－4，x1x2＝， 　　由|AB|＝，即由|x1－x2|＝， 　　可得(x1＋x2)2－4x1x2＝8． 　　將x1＋x2＝－4，x1x2＝代入，得16＝8， 　　求得a＝，代入①，又求得k＝－1． 　　故f(x)＝(x＋2)2－1＝x2＋2x＋1．