已知數(shù)列{a
n}中,a
1=1,S
n是{a
n}的前n項(xiàng)和,當(dāng)
n≥2時,Sn=an(1-).
(1)求證
{}是等差數(shù)列;
(2)若T
n=S
1•S
2+S
2•S
3+…+S
n•S
n+1,求T
n;
(3)在條件(2)下,試求滿足不等式
≥-T5的正整數(shù)m.
分析:(1)由
Sn=an(1-)=
(Sn-Sn-1)(1-)可得,2S
n-2S
n-1+S
nS
n-1=0即
-=,
{}為公差的等差數(shù)列
(2)由(1)可得,
Sn=,則
SnSn+1==4(-),利用裂項(xiàng)求和可求
(3)由(1)可得,
an==
-2(-),利用裂項(xiàng)求和可求
am+1+am+2+…+a2m=-2(-+…+-),而
-T5=-×=-55結(jié)合m∈N
*可求m
解答:證明:(1)
Sn=an(1-)=
(Sn-Sn-1)(1-)整理可得,2S
n-2S
n-1+S
nS
n-1=0
兩邊同時除以S
nS
n-1可得,
-=,
=1{}是以1為首項(xiàng),
為公差的等差數(shù)列
(2)由(1)可得,
=1+(n-1)=Sn=SnSn+1==4(-)Tn=4(-+-+…+-)=
4(-)=(3)由(1)可得,
an==
-2(-)am+1+am+2+…+a2m=-2(-+…+-)=
-T5=-×=-55原不等式可化為,
≥-55即(m+1)(2m+1)≤55
∵m∈N
*∴m=1,2,3,4
點(diǎn)評:本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造特殊的數(shù)列,定義證明等差數(shù)列的應(yīng)用.裂項(xiàng)求解數(shù)列的和及數(shù)列與不等式的綜合內(nèi)容的考查.
練習(xí)冊系列答案
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已知數(shù)列{a
n}中,
a1=1,an+1-an=(n∈N*),則
an=
.
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已知數(shù)列{a
n}中,a
1=1,a
n+1=
,則{a
n}的通項(xiàng)公式a
n=
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{a
n}中,a
1=1,
a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列
{}的前n項(xiàng)和T
n.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列
{an}中,a1=,Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且S
n與
的一個等比中項(xiàng)為n(n∈N*),則
Sn=
1
1
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
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