Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2

2

，BC的垂直平分線l交AC于D，當(dāng)點(diǎn)C動點(diǎn)時(shí)，D點(diǎn)的軌跡圖形設(shè)為E．
（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P為E上一動點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)|PA|²=1+λ|PO|²，求λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）．設(shè)D（x，y），結(jié)合圖象由垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義知，點(diǎn)E的軌跡是橢圓，由定義求出參數(shù)，得出標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P(x，y)x∈[-

2

，

2

]，得出PO²=x²+y²，PA²=（x-1）²+y²，整理表示出λ，建立關(guān)于此參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得的形式討論最值求λ的最大值

解答：解：（1）．設(shè)D（x，y）
∵l是BC的垂直平分線，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2

2

＞2=|AB|
∴D點(diǎn)的軌跡圖形E是A，B為焦點(diǎn)的橢圓 （3分）
其中2a=2

2

，c=1，
∴a=

2

，b²=a²-c²=1    （5分）
∴D點(diǎn)的軌跡圖形E：

x2

2

+y2=1   （7分）
（2）設(shè)P(x，y)x∈[-

2

，

2

]，
則PO²=x²+y²，（8分）
PA²=（x-1）²+y²    （9分）
λ=

PA2-1

PO2

=

(x-1)2+y2-1

x2+y2

=

x2-2X+y2

x2+y2

=1-

2X

x2+y2

   （10分）
點(diǎn)P（x，y）滿足

x2

2

+y2=1，∴y2=1-

x2

2

，（11分）
λ=1-

2x

x2 2 +1

=1-

4X

x2+2

  （12分）
當(dāng)x≥0時(shí)，λ≤1
當(dāng)x＜0時(shí)，設(shè)t=-x，則t∈（0，

2

]，λ=1+

4t

t2+2

=1+

4

t+ 2 t

 （13分）
因?yàn)?span id="2mbuq2t" class="MathJye">t+

2

t

≥2

2

，所以λ≤1+

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

時(shí)，即x=-

2

時(shí)，λ取得最大值1+

2

． （14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的定義，求了橢圓的方程，第二問中求參數(shù)的最值的問題要注意函數(shù)思想的使用，一般求最值的題都可以把要求的最值表示成相應(yīng)的函數(shù)，利用所得的函數(shù)解析式求參數(shù)的最值．本題運(yùn)算量大，符號運(yùn)算極易出錯(cuò)，做題時(shí)要認(rèn)真，嚴(yán)謹(jǐn)，避免因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)，導(dǎo)致解題失敗．本題考查了變形的能力，推理的能力以及運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合的技巧．