Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln（ax）（a＞0）
（1）若f′（x）≤x²對(duì)任意的x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)，若，求證x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)：f'（x）=2xln（ax）+x欲使得f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立，設(shè)u（x）=2lnax+1-x再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)得到g（x）在上g（x）是增函數(shù)，上是減函數(shù)從而得出，同理兩式相加化簡(jiǎn)即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立
設(shè)u（x）=2lnax+1-x，x＞2時(shí)，單調(diào)減，
x＜2單調(diào)增，所以x=2時(shí)，u（x）有最大值u（2）（3分）
u（2）≤0，2ln2a+1≤2，所以（5分）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，，，
所以在上g（x）是增函數(shù)，上是減函數(shù)（6分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125250489336348/SYS201310251252504893363020_DA/11.png">，所以g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁
即
同理（8分）
所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125250489336348/SYS201310251252504893363020_DA/15.png">，當(dāng)且僅當(dāng)“x₁=x₂”時(shí)，取等號(hào)（10分）
又，ln（x₁+x₂）＜0（11分）
所以
所以lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）
所以：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．